沿着博物学传统走来的芒德勃罗

　　芒德勃罗曾在日内瓦大学（1955-1957），法国里尔（Lille）大学及综合工科学校 （1957-1958） 任数学讲师。曾任耶鲁大学罗宾逊（Abraham Robinson）数学科学副教授，麻省理工学院经济 学讲师和访 问教授及应用数学访问教授，哈佛大学经济学、应用数学与数学访问教授，耶鲁大学工学访问教授，爱因斯坦医学院生理学访问教授，巴黎沙特（Paris-Sud）大学数学访问 教授。1987年 成为耶鲁大学数学教授。

　　芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《 分形对象： 形、机遇与维数》（Les Objets Fractals：Forme，Hasard et Dimension），1977年以英文出版《分形：形、机遇与维数》 （Fractals：Form，Chance and Dimension），1982年出 版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书， 包罗万象，显示 了将分形用于自然现象描述的重要性。到目前为止他一共写过这三部书，后面每一部都 是对前一部的修订和增补，其中相当部分是重写的。他对自己的专著的描述用词是：“普及性的 ”、“随笔 ”（Essay）、“宣言书”、“从头到尾都是序言”。最后一句是仿达西。汤普森 （D‘Arcy Thompson，1860-1948），汤普森曾写过一部巨著《论生长与形式》，但汤氏称该书 从头到尾都是 序言。

　　据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学 、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与相变等等。

　　芒德勃罗不是传统意义上的数学家、科学家，他的经历和学术生涯史无前例。 1973年以前， 他一直不被各领域的科学家所认同，“分形理论”诞生后他的“政治”地位（他自己愿意用这样的词汇）剧变，成为世界上最有名气的科学家之一。通过因特网（Internet），可以很好 地检验一个人 的知名度：用万维网（WWW）浏览器打开Yahoo！检索引擎，输入“Mandelbrot” 或者“fractal”，几秒种内便可查到上万条信息。仅从这一点来看，当今世界还没有哪位 科学家如此赫 赫有名，即使将他与影视名星放在一起，其知名度也不逊色。

　　科学界曾两次为他举行国际范围的祝寿活动，并相应出版了祝寿科学论文集。一 次是1989年 在其65岁生日时，纪念文集以《物理学D》（Physica D，专门刊登非线性科学方面的论 文）杂志专号出版（1989年第38卷），刊登了他的大幅照片及详细学术经 历。另一次是1994年 他70大寿（会议拖到1995年举行），纪念文集由新加坡的《分形》（Fractals，1991年 创办的一份关于“大自然复杂几何的跨学科”学术杂志）杂志专号出版（1995年第3卷第3期）。 对一位科学工 作者而言，这是很不容易享受到的荣誉。

　　芒德勃罗现为美国艺术与科学院院士，美国国家科学院外籍院士，欧洲艺术、科 学与人文学 院院士。他曾荣获巴纳奖章（F.Barnard Medal，1985）、富兰克林奖章（Franklin Medal，1986 ）和物理学沃尔夫奖（Wolf Prize，1991），还有其他若 干奖励。

　　芒德勃罗开创的分形理论近年来十分红火，据阿哈罗尼（Amnon Aharony）和费德 （Jens Feder）1989年对INSPEC数据库统计，公开发表的分形论文累计数量符合指数规律exp｛（t-1974）/1.74｝， 其中t代表年份，这表明每年论文数量以1.8的因子增加。

　　博学成就了事业

　　进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，林耐（Carl von Linne，1707-1778） 、莱伊尔（Charles Lyell，1797-1875）和达尔文（Charles Robert Darwin，1809-1882）的时代 一去不复返 了，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大的例外，他是现代科学界最大的博物学家（naturalist）。他十分推崇《论生长与形式》（ On Growth and Form）的作者达西。汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。

　　他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史（ 杨振宁、李 政道等大科学家也都十分重视科学史）。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意 一些不起眼 的非核心刊物。这是一个成才策略问题。

　　芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”、“反直觉 的”的东西 .“医生和律师用各种‘病例集’和‘案例集’来称呼有一个共同题目的实际病例和案例的汇编。而科学上尚无相应的专门名词，因此我建议也应用‘范例集’这个名词。重要的范例 需倍加注意 ，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。”［2］因此诸 如现在人们熟悉的康托尔 （Georg Ferdinand Philip Cantor，1845-1918）三分集、外尔斯特 拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815-1897）不可微曲线、可充满正方形区域的皮 亚诺（Giuseppe Peano，1859-1932）曲线、 谢尔宾斯基（Waclaw Sierpinski，1882-1969）地毯 与海绵、柯赫（H.von Koch，1870-1924）雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而 这些一直被正统 科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流 行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”（芒氏视其为“宝贝”）的具体性质， 从任何一本 关于分形的书中都可以容易找到一些例子。

　　芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类 型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该 还有一种不 光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。

　　在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常 被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为 一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几里得（几何）——本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高 程度的复杂 性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边， 被认为是‘无形状可言的’形状，去研究”无定形“的形态学。然而数学家蔑视这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题 .”［2］

　　芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚 产的新领域 ，这个危机从雷蒙德（duBois Reymond）1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到 1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫（Flix Hausdorff，1868-1942）。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 .他们及其几代后继者都不 知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然的世界。

　　海岸线：最容易说明的分形

　　巴塞罗斯（Anthony Barcellos）采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪 一个？”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。［4］随即他又补充说还有“血管分形结构”以 及“自平方龙”（复 迭代中的一个例子）等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分 形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”

　　不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是 提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。

　　1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线 有多长？统 计自相似与分数维》，［23］列出分维公式D=-logN/logr（N），说明海岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际 上可以说海岸线有任意长度、无穷长度（当然从物理上看，无标度区间总有一个下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了）。这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它 显得有点不“客观”，而分维D则是一个很好的特征量。

　　实际上关于海岸线长度测量悖论，在芒氏之前英国著名气象学家里查逊（Lewis Fry Richard son，1881-1953）、波兰著名数学家斯坦因豪斯（H.Steinhaus，1887-1972）和法国著名实验物 理学 家、诺贝尔奖获得者佩兰（Jean-Baptiste Perrin，1870-1942）等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐 述（在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话）。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据 里查逊的数据绘制了6条海岸线的“双对数图”，展示了存在6条直线（只有一条略弯曲），这些直线的斜率就 代表海岸线 的分维值。

　　这篇文章的第二张图示意了如何用几种“生成元”导出不可求长的 （nonrectifiable）的自相似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起 来，引起不小的热潮。

　　从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几 百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这 种性质的，他最终将毫无头绪的“杂多”综合在一起，创立了分形科学。

　　贯穿始终的一条线索

　　除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括 什么？如果 去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。 无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：

　　1）发现莱维（Paul Levy，1886-1971）稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗 运动、星系分布等领域；

　　2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；

　　3）［重新］发现M集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展；

　　4）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；

　　5）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal，也译作“多重分形”、“多 标度分形”） 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜；

　　6）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。

　　在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究 他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”（做广义的理解）。他在工程技术中（或者用中国话来说，在生产实践中）发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上 升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。

　　直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到 芒氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。

　　芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直 接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动 、湍流、星系结构，芒氏都用了“自相似”这一貌似简单的思想。他的思路这这样的：

　　自相似性≡尺度变换下的一种对称性→双曲分布→非高斯稳定分布→巧妙利用了 方差为无穷的“病态”性质→莱维飞行→各种应用（海岸线、皮亚诺曲线、门格尔/谢尔宾斯基海绵等） →分维测度→ 分形几何→自相似性→……

　　芒德勃罗曾说：“与分形关系最紧密的是双曲概率分布”（见《大自然的分形几 何学》第38 章）。他最早接触的词频分布与收入分布研究，都涉及这一主题。在我们分析的上述方案中，特别突出了目前一般分形著作不太重视的“非高斯稳定随机过程”。

　　芒德勃罗从事的第一个科研实践（实际上仍然理论气十足）是研究通讯中的噪声和 词频的分布 ，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性 .这个线索 沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值 远未开发完 毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动（FBM）的兴趣，对莱维飞行（Levy flights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。

　　那么这个线索是什么呢？就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布” （Levy‘s stable distributions）。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几 乎不知道这个 伟大人物了。当年在法国综合工科学校，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。后来有人问芒氏是否是莱维的学生。芒氏的回答很有趣：“不，许多人 后来都声称 是莱维的学生，但莱维特别否认他有什么学生”。芒氏讲的“学生”（student） 换成“弟子”（disciple）大概更恰当些。

　　芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信 念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。

　　在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想 象得出的好 性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种 完美分布的向往。维纳（Norbert Wiener，1894-1964）成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含 义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研 究布朗运动随机过程时所用到的分布只是高斯正态分布。

　　数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一 切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里（甚至到现在仍然如此），数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错 误的。

　　经济学中的“稳定分布”

　　现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文（也许会有几篇的出入），主要涉及《 经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题 ——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托（Vilfredo Pareto，1848-1923）分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔 大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点， 但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。

　　米罗夫基（Philip Mirowski）1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团 体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济 学家受“浑沌”（chaos）的影响，间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不 相信芒氏的理论。