沿着博物学传统走来的芒德勃罗
芒氏1968年的文章通过引入了“记忆”推广了布朗运动，分形布朗运动的概率分 布为
p（x，t）=[SX（]1[][KF（]2πσ2（t）[KF）][SX）]exp[JB（（][SX（]-x2[] 2σ2（t）[SX） ][JB））]
其中σ2（t）=t2H，H的取值范围一般限制在（1，1/2）之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推 广意味着随机行走的均方位移随t2H而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。
如果随机行走发生在分形体上（如逾渗（percolation）格子），则运动行为不同于 一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小 于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。
布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走 者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机 变量，其概率分布为p（x），具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N步的总和的分布仍然 具有与单步相似的（乘以一个标度因子）分布？这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起 来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。
早在1853年柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）就认识到对于N步可加（也 叫稳定 ）随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把x实空间变换为 傅里叶 （Jean-Baptiste-Joseph Fourier，1768-1830）k空间时，可加过程的可能概率 分布为［18］
[AKp～D1]N（k）=exp（-N｜k｜β）。
当β等于1时，便得到柯西分布，β等于2时对应于高斯分布。如今上式称为莱维概率分布 .
应当说明的是，广义的莱维稳定过程（sD_1+sD_2=sD，s_1X_1+s_2X_2=sX+常数），仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。当x的绝对值很大时，返回到 实x空间， p（x）可以用｜x｜-1-β来近似。当β小于2时，显然p（x）的二阶矩无穷大。这意味着除了在高斯情形中，随机行走（飞行）没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机 行走是标度 不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩（infinite moments），于是均方位移发散。
矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于 芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物 ，这一点应 特别提及。
莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。 经过一番处 理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。例如柯西密度1/［π（1+x2）］变量几乎总是有限的，但它 具有无穷方差和无穷期 望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速 度，这种过 程又叫作莱维行走（Levy walk）。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。
从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于 各种场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学 界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。
阵发湍流
芒德勃罗关于流体湍流问题的研究始于对经济学的研究之后，1963年秋季他在哈 佛大学听了斯图尔特（Robert Stewart）的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发（间歇）（intermitt ency）现象，同时知道了苏联学 派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与19 61-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向湍流研究。他觉得 这些观念对于 自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关（当时还没有“分形”这个概念）。他迫不急待地想把 自己在其他 领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。
众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶 -斯托克斯 （Navier-Stokes）方程，但这无济于事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从解析的角 度做了各种努 力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称自己不断观察关于湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流（将数据转化成音频信号），还 用功率谱等 手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇异性问题研究的经验，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流 》（Sporadic turbulence），1968年发表《论阵发自由湍流》（On intermittent free turbu lence），1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》 ，1974年发表《 自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》 ， 1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。
芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、 从几何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，他说：“方 程（指欧拉方 程和纳维叶-斯托克斯方程）并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫，同时柯尔莫哥洛夫也没有帮助我们解方程。”
芒氏首先从湍流级联（cascade，也译级串）中的自相似出发，在这方面著名气象学 家里查逊仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次（hierarchy of eddies） 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫（A.M.Obukhov）、翁萨格（Onsager）和魏扎克（von Weiza……cker）沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔莫哥洛夫的名字。
芒氏作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。从其它方程导出的已 知的奇异性 不足够以解释直观上我们看到的湍流的特征，于是他猜测：基本方程的湍流解，一定牵涉到新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：“纳维叶-斯托克斯方程的解如果 存在，就是事 实上的极限分形。”他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也是实际上的分形。这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维-斯托克斯方程的解要比欧拉 方程的解光滑 些、少些奇异性，于是可以猜测欧拉方程的解的维数比较大一些。芒氏承认，证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对于微分方程也是如此，以前人们只知 道不动点、 极限环和极限环面（torus），经过浑沌的洗礼，才知道还有另一种非周期定态运动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇异性，的确是一个创见。
在研究湍流阵发现象时，他贯彻了“自相似教义”，提出了一个有趣的新概念“ 乳凝”（curdling），与它对应的一个词是“乳清”（whey）。“乳凝”和“乳清”随机地混合在一起，构成复杂的结构，类似于康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对“乳凝”这个词不 要作字面上 的理解，但是考虑到“乳凝”外面的空间包围着“乳清”，倒是有助于理解问题。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫（E.A.Novikov）和斯图尔特（R.W.Stewart）1964年论文《湍流的 阵发性与能量耗散涨落的谱》（原文为俄文）的影响，也受到霍伊耳（F.Hoyle）1953年和1975年关于星系团 等级层次模型的影响。
芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导 致的，在每 一阶段能量都从一个旋涡（eddy）“集中”或者“乳凝”（作动词用）到N个次级子旋涡（su beddies），旋涡的比例为r，于是有如下分维公式D=logN/log（1/r）。对于宇宙 学D一般小于2，但对于流 体湍流D大于2.在1977年的专著《分形》中，芒氏用四页插图表现 “随机乳凝”（random curdling）结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。
经过m次级联耗散后，能量均匀分布在第m层次的γmD个子涡旋上。在三维空间上 一共有γ3m个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个维数小于3的分形“乳凝”（作名词用）上。芒德勃罗将这种湍流称为“分形各向同性湍流”（fractally homogeneous turbulence）。
利用这种思想芒氏于1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为5/3+B，其中 B=（3-D）/3.
芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系，这时他用到了物理学中非常重要的概念 ——逾渗和 逾渗壶（percolator）。逾渗壶就是一组自相似的集团（cluster），而集团是由联通的乳凝组成 的。芒氏1974年将简单的乳凝（1/r和N都取整数的情况）分解过程称为正则乳凝（canon ical curdling），后来又考虑令N可以随机变化，对应于每一层次有一个随机数U，再规定 一个概率阈值p ，当U大于p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小于p时子旋涡存活为乳凝。当p小于 1/r3时，所有过程都死掉，于是D为0，对于其他情况有非零概率，过程收敛到一个维数为 D=3-logp/logr 的分形上。此模型的好处在于D可以在0和3之间变化。
法国尼斯天文台的弗里茨（Uriel Frisch）教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛 夫的遗产》中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的 少数人之一 .1974年克莱茨南（R.H.Kraichnan）纠正了随机级联模型的一个概念错误，用速度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫-斯图尔特模型发展为β 模型。弗里茨在β 模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。结合柯尔莫哥洛夫1941年的论文，可以导出速度关系
vl～v0[JB（（]l/l0[JB））][SX（]1[]3[SX）]-[SX（]3-D[]3[SX）] .
芒德勃罗、弗里茨、帕里西（Giorgio Parisi，罗马大学）等提出的“多［重］分形”概念对 于阵发湍 流研究具有重要意义，但是多分形模型的现象学表示有两个缺点：第一，它假定存在奇异性，第二，它没有区分正负速度增量。弗里茨从概率的观点重构了多分形模型，克服 了这两个缺 点。概率意义上的多分形标度性，并不要求在个体层次上实现任何分形结构。从这个意义上看，湍流的分形或者多分形描述更多地体现着概率含义，离精细尺度的几何特征 则越来越远 ，虽然起初是从几何入手的。不过，进入90年代中期，达。芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）式的湍流又成为研究的焦点，科学家们开始考虑极细小尺度上（到了柯尔莫 哥洛夫 尺度的量级）的非平庸的几何结构，特别关注涡丝（vortex filaments）的形成以及对 于流体动力学和统计特征的影响。
对布尔巴基学派的态度
芒德勃罗一生做了各种各样的研究，涉猎语言学、通讯工程、热力学、经济学、 湍流、布朗 运动、复迭代等等，在他的工作中数学与其他学科是自然结合在一起的。如果说他是什么什么家的话，他首先是“科学博物学家”，因为他善于从科学史中发现有价值的东西，将一些 孤立的、只 言片语的深刻洞见联系起来。他的几乎每一样贡献都很容易找到一系列前身，对此人们有两种不同的看法，一种观点认为芒德勃罗没什么了不起，只不过自己造了“分形” 这个词而已 ；另一种观点截然相反，认为他的创造是伟大的综合，是任何人所无法替代的， “分形”体现的并不只是一个普通名词，它统摄了科学界各学科呼唤已久的内在声音。无疑 本文作者持 后一种见解。
芒德勃罗以几何方式思考问题，这句话有两方面的含义，一种是他以数学上的几 何学方式思 考，另一种则带有若干贬义：以直观的、从形状出发的、不严格的方式思考。对于芒氏，应该说两方面的含义都有，他本人也不讳言。他常常津津乐道地讲自己以图形的方式思考问题 的好处，当 年考巴黎高等师范学校时以几何方式“做弊”就是一例。另外芒氏不止一次公开反对布尔巴基学派的数学风格。
布尔巴基（Nicolas Bourbaki）是一群主要来自法国高等师范学校的数学家的笔名 .关于这个名字的来历有多种说法，总之是人为编造出来的。这个学派作为一个集体在20世纪的数学界 可谓影响甚 大。此学派的先驱人物主要有三位：康托尔、希尔伯特（David Hilbert，1862-19 43）和诺特（Emmy Noether，1882-1935）。第一位为他们提供了集合论，第二位提供了公 理化 方法，第三位则提供了抽象代数。1934年冬天高等师范学校的一伙毕业生商定第二年7月在一家饭店召开布尔巴基成立大会。成立初期活跃人物主要有：维尔（Andre Weil，1906 -）、迪多内（Jean Alexandre Dieudonne，1906-），迪尔萨特（Jean Delsarte，1903-）、 卡当（Henri Cartan，1904-）、切瓦利（Claude Chevalley，1909-）等。可以看出他们年纪相差 不多。这些年青人经常聚会，在一起讨论纯粹数学。30年 代他们计划撰写一部纯数学专著， 从基本原理出发，按严格逻辑发展进行形式构造。1939年以“布尔巴 基”为名的第一部《数学原理》（Elements de Mathematique）出版，一直出版到1980年，产生了很大影响。有 关布尔巴基的详 情可以参阅胡作玄编著的《布尔巴基学派的兴衰：现代数学发展的一条主线》。［33］
公正地评价，此学派为数学的严格化、体系化、结构化发展作出了重要贡献，该 学派中有三 人施瓦兹（Laurent Schwartz，1915- ，是上文提到的概率论大师保罗。莱维的女婿）、谢利（ Jean-Pierre Serre，1926- ）和 格罗申迪克（Abxander Grothendieck，1928- ）曾获菲尔兹奖 ，还有两人维尔和卡当荣获沃尔夫奖，这说明其数学成就是举世公 认的。
既使如此，布尔巴基也不是没有缺陷。从当前趋势看，这个学派已光荣地完成了 其历史使命 ，已走向衰落。这个学派过分强调逻辑而贬低几何直觉，一直受到一些人士的反对，年青的芒德勃罗受不了他们那一套，离他们远远的。1985年有人问芒勃罗：“你提到你不喜欢布尔 巴基对待数 学的那种反几何的方法。你认为布尔巴基的影响对于接受你的分形方法是否设置了重要障碍？”芒氏回答说：“1945年当我离开高师的时候的确是这样，另一次是1958年我 离开法国时。 在这之后就没有了。他们不能阻止我做我自己的事情。多少年来我的许多听众深受他的影响，但并不知道他们的存在。”
芒氏认为布尔巴基试图为数学大厦打下一个基础，但它像浪漫王子梦中的城堡一 样，从未完 工，他们的宏篇巨著也远未实现他们声称的目标，并没有成为数学的普适标准。所谓30年河东30年河西一点不假。在数学界摆锤开始从一个极端摆回到一个更合理的位置。芒氏说：“ 如果我再早 一点推出我们分形几何，布尔巴基也许会成为一个重大障碍。但是现在他们最多能在巴黎开一个研讨会。某种意义上，我或许能从批驳他们的傲慢中获得好处。”
当分形几何学流行起来时，形势也变得突然，芒德勃罗骄傲地指出：“布尔巴基 现任领导人 之一的道阿迪（Adrien Douady，1935- ）用了最后的几年时间发展了我所开创的复迭代思想 ，欢迎他总是件好事情。”在80年代 初，道阿迪确实“帮”了芒德勃罗一个大忙：他就芒德 勃罗提出的M集合的连通性与自己从前的两个学生 合作，作了严格的数学分析，得到了一批深刻的数学结果，直接促进了复迭代深入发展。
但是这个问题还可以从另一个角度去看。布尔巴基学派起初都来源于朱丽亚 （Gaston Julia ，1893-1978，在战争中他的鼻子受伤，从照片上可以看到他鼻部带着一个特制的面具）在高 师办的 讨论班，无疑朱丽亚可算作布尔巴基的祖师爷，而复迭代基本上是由朱丽亚开创的。芒德勃罗只是在70年代末才重新碰到这个问题，大张旗鼓地研究起迭代来，并将它与分形联 系在一起。 因些也可以说芒德勃罗皈依了布尔巴基传统。客观的看法也许是，数学的各个分支是内在联系的，发展总有个先后，物极必返，一种方法、一个问题的流行均有一定的时代 规律性。芒 氏与道阿迪两个对立学派都来研究复迭代，说明几何方法与分析方法没有本质的不同（代数、几何与分析历来是数学的相互统一的三大块），在计算机的帮助下可以走到一起 来，这是本 世纪80年代以来出现的盛事。
上一篇文章：
下一篇文章：
您可能对以下文章也比较关注：如果侵犯了您的权利，请通知我们(love788@gmail.com)，将在第一时间删除。谢谢您的支持！中国故事网