沿着博物学传统走来的芒德勃罗
在对道阿迪进行表扬的同时，芒德勃罗严厉批评了大数学家迪多内：“布尔巴基 的奠基人之 一迪多内，关于数学的意义发表了大量极端错误的言论……。比如他认为皮亚诺曲线是反直觉的，只有用逻辑才能理解它，用直觉是不可能理解其性质的。这完全错了。今天皮亚诺曲 线被视为完 全直观的，因为我的工作使得它如此。我有这样一种感觉，迪多内并没有敌意，只是有趣。”
对于布尔巴基的全面评价涉及数学的建设以及数学教育的开展，是个很严肃的话 题。最后引 马季芳为《今日数学：随笔十二篇》所写的译后记中的一段话：“美国自50年代末到70年代初，花了20年功夫大搞‘新数学运动’……不幸，改革的指导思想全部采用布尔巴基学派的 主张，过分 强调抽象理论的重要性，排斥一切实际应用，全部新教材中竟没有一道应用题。结果事与愿违，学生的数学成绩普遍降低。……美国数学界受此打击，痛定思痛……补救之 道，在于数 学家不应孤芳自赏，必须面向群众，用生动活泼的语言，讲述本学科的性质、发展，及其在自然科学和社会科学各方面的广泛应用，借以增进世人对数学的了解和兴趣。”
自我推销
芒德勃罗始终生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上没有几个人知道 他，更谈不 上真正理解他了。他几乎是打一枪换一个地方，在不同学科中窜来窜去，哪一个学科似乎也没有特别注意他。维纳在《人有人的用途》中两次提到他算是个例外，维纳那时搞的“控制 论” （Cybernetics）也是新鲜事物，理解的人也不多。
芒德勃罗发表了许多论文，但他回忆说，当初发表每一篇都十分艰难。他不断投 稿，审稿人 对文章的批评毫不留情面（那时他没有名气），稿件被一次次退回。关于星系结构的论文始终难以发表，“我关于星系的工作在别人知道它之前是不可接受的，而在它成为可接受的之前 ，人们又不 知道它。”发表出来的也做了一些修改，特别是编辑命令他删除“可疑的哲学” （dubious philosophy）部分。
在写作风格上，芒氏后来坦率地承认，他不得不装成某个领域的内行的样子，在 论文中故意 加进一大堆数学公式和推演细节。虽然也不是特别成功，因为他始终带有极强的“异国口音 ”（foreign accent），“但是这种办法对于把我的论文发表在一些好的学术杂志是必要的和 充分的”。
芒德勃罗把科学界对他的学说的态度分成四个阶段：在第一阶段，人们总是问： 你是谁？你 为什么对我们的领域感兴趣？第二阶段则是：这与我们所做的有什么联系？你为什么不用我们所知道知识来作解释呢？第三个阶段是：你能保证这是标准的数学吗？我们怎么不知道？第四 阶段是：这些 领域的数学家怎样评价你的工作？芒氏对后两个问题的回答是：“我能保证这是标准的数学。只是人们很少知道。他们无所谓，因为我的工作并没有增加什么数学。”
1964年他参加了在耶路撒冷举行的“逻辑学与科学哲学大会”，在会上作了“尝 试性的分形 宣言”（tentative fractal manifesto）的报告，可惜没有正式发表出来。到了70年代初芒 德勃罗手边已经积累了不少发表 的和退回的稿子，据说已经堆成了堆（90年代时他不断地抽出一些略加修改就发表了）。
芒德勃罗一直在思考着，当今学科分化严重，学科壁垒森严，像他这样东一榔头 西一扫帚， 在不同学科进进出出的，很难站稳脚根，别人不会承认自己。如果要生存下去，就不能与正 统对着干。短期策略是，要取得别人的信任，尽量隐藏自己的真正意图，争取多发表一些论文，审稿人和 编辑希望怎样修改，自己就怎样修改。而长期战略是，要学会自我推销，最终建立自己是“教皇”（Pope）的一块阵地：即创立一个属于自己的新学科。
1973年芒德勃罗终于找到了一个绝好的机会。这一年他到巴黎去休假，此时他叔 叔佐列姆已经退休，正好可以邀请他在法兰西学院（College de France）作一场重要的报告。这 对于自己发表一篇一般性宣言以及解释清楚自己多种不同兴趣的内在 统一性，是一个黄金时 机。他作了精心准备，在准备过程中他发现自己的整套工作比以前自己所知道的 更完备、更协调了。讲座在1973年1月进行，极其成功，一个朋友告诉他，这是他听到过的最具自传 色彩的科学讲 演。芒氏回忆说：“我受到好多赞扬，会上根本没有敌意，这使我认识到我多年的荒野生涯行将结束了。为了概括我的统一方法，不久我就造了”分形“（fractal）这个 词，并把这次 的巴黎演讲的内容扩充为一本法文书，这部书1975年出版，不久后又稍作修改出了第二版。”
直到1973-1975年，他才改变了自己的“政治”地位，此前在所有领域他都是局 外人，他的地位和声音都不容许宣布自己的哲学和他的交叉科学方法。1977年的“这本法文书标志着我 从零敲碎打 方法到现在的统一方法的转变，不久分形几何学就变得很有组织了。我的生活方式也深深地发生了变化。你们可以说，我已变成了我的创造物的奴隶。”
这之后芒德勃罗变得似乎有些狂妄。他写文章和书充满了第一人称，他常用“我 宣布”、“ 我认为”、“我发现了”、“我运用了”、“我认定”、“我证明”、“我命名”、“在我漫游我自己新开创的、新开发的学术领地里，我时常行使对新领域中的路标进行命名的权力 ”。著名科 学史家柯恩（I.Bernard Cohen）在《科学革命史》一书中指出，他与自己的学生以及同事进行了长达15年的调研，发现用“革命”词句描述自己成就的科学家并不多，一共 无疑，许多 人不欣赏他这种文风，所以在他成名后许多人公开反对他也就不奇怪了。
对于纯粹数学家来说，芒德勃罗并非数学家。在他的成就达到最高峰时，他甚至 遭到一些同 事的辱骂。有人认为芒德勃罗关于自己在科学史上的地位的说法简单是神经病，他们说芒德勃罗向别人述说的贡献，纯系吓唬人，耸人听闻。
这也难怪，芒氏经过曲折的道路，终于取得社会的承认，他急于让世人欣赏他的 成就，急不 可待地希望别人都知道他第一个发现了什么、第一个采用什么方法得到了什么结果。格莱克 （James Gleick）说：“他甚至会写信给一些写了分形方面论文的作者，责问人家为什么不引 用他的文章 与他所写的书！”芒氏的一位朋友里希特（P.H.Richter）替他辩解道：“他一生坎坷，与别的数学家很难相处，为了生存下去，他必须采用这种战略，不断鼓吹他的自我。如 果他不这样 做，如果他不这样自信，他就永远不会这样成功。”
看芒德勃罗的论文和专著，会注意到他大量引用前人的工作，他自己声称善于在 数学垃圾筒 和故纸堆中找金子。但一些人并没有因此而表扬他，反而说他经常引用一些名不见经传、多半已经“安全地”死去了的人物，为的是突出他自己，以使他自己成为学术领域的中心人物 .有人甚至 怀着嘲笑的语气说，他只会从一个领域拿来一些东西，当成他自己的，然后贩卖到另一个领域。有人一面吸收着芒德勃罗的思想，一面尽力避免使用“分形”与“分维”这 样的词汇， 故意用“豪斯多夫-贝塞克维奇维数”（Hausdoff-Besicovitch dimension）等 等。当然大多数科学家还是能够充分理解芒德勃罗的，他们考虑芒氏曾克服的重重困难， 便 原谅了他的强烈个性。毕竟科学就是科学，看的是科学内容而不是当事人的人品和个性。由于不喜欢一个人的个性而不喜欢他的实实在在的有价值的科学工作，是不明智的，到头来也 证明是个性 偏执的。
对于芒德勃罗的风格，数学界还有一个反感。纯数学家认为他只是到处宣布一些 猜测，而不 是下力气去严格证明它们。发现周期倍分岔普适常数的费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum，194 5- ）也遇到过这种情况，有位数学家指责他是讲数字呢还是讲严格证明。这是数学家与 物 理学家之间的一个老矛盾了，不过现在由于计算机大量用于科学研究，此问题显得更加突出。如果某人宣布某一事情也许为真，而另一位严格证明它为真，试问哪一位对科学的贡献更 大，谁的工 作才算更正的科学发现？这个问题很复杂，不可一概而论。胡适（1891-1962）的格言也许用得上：“大胆假 设，小心求证。”
公开争论
80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场。一次是1986年 在《今日物 理学》杂志上，一次是1989年在《数学信使》杂志上。每一次都连续刊发了系列评论或信函。现在重温这些争论对于理解分形、理解芒德勃罗、理解整个现代科学的运行都有价值。
1986年二月在世界范围享有盛誉的《今日物理学》开办了“参照系”（Reference Frame）这 样一个栏目，首期请芝加哥大学凝聚态物理学家、麦克阿瑟（John D.MacArthur）物理教授卡 丹 诺夫（Leo Kadanoff）著文。卡丹诺夫是相变理论、临界现象、非线性系统浑沌行为方面的专家。他写了一个带有挑战味道的题目《分形：其物理学在哪里？》，开头便写道：“为什 么分形这么多 事？《物理评论快报》（Physical Review Letters）报怨，每三篇投稿中就 有一篇以某种方式与分形扯到一起。一些大公司的实验室（像施乐和IBM） 将其基础研究预算 中相当可观的一部分用于研究分形系统。在过去的一年里，大约有半打学术会议是关 于这个主题的。为什么？”［20］
看得出来，卡丹诺夫来者不善。他接着说：“但首要的是，什么是分形？不同人 以不同的方式使用‘分形’这个词，但都同意分形对象像中国套箱或者俄罗斯套娃娃，包含层层嵌套的结构。”文章主体部分回顾了扩散置限凝聚（DLA）模型以及分维的计算，接着又开始了发问 .
他说，不幸的是分维测度并不能有效区分不同的对象，虽然也有人给出分维以外 的其他指 标，“但这一领域的未来发展有赖于建立更本质的理论基础，在这个基础上应该能够导出现象层次的几何形式。如果缺少这样一个基础，就不可能准确地确定什么样问题有可能具有有 趣的答案。 人们可以希望，甚至期待，最终要发展出类似威尔逊（Kenneth Wilson，曾获物 理学诺贝尔奖）重正化方法一样的理论基础，来使这一主题漂浮的船舶稳固下来。”“没 有 那样的基础，许多分形工作似乎显得肤浅，甚至有些乏味。在各种各样模型的基础上实施计算机模拟，然后将结果与真实世界的情况对比，这不难，简直太容易了。但是，缺少组织原 则，这一领 域就会堕落为有趣物种和简易分类的动物园。尽管这一领域所基于的现象观察十分美丽和精致，但分形的物理学，无论如何是有待诞生的学科。”［20］
《今日物理学》4月份在“研究与发现”栏目中又刊出记者列维（Barbara G.Levi）写的一篇报道《新的整体分形形式化（formalism）描述了通向湍流的道路》，［21］主要讲了 费根鲍姆发现周期 倍化分岔普适常数以及许多人的实验验证，特别提到分形的新的形式化描述，写下了公式 pi=lαi（l），其中l是小的距离，pi是概率，αi是标度指数。标度指数取 值有 一定的范围，其分布构成奇异性谱，用函数f（α）表示。可以粗略地把f设想为熵。这说的是多［标度］分形。接下去文章用大量篇幅讲述各种具体研究，以及以α为横坐标、f（α ）为纵坐标做 出来的曲线图。有关思想来源只在一处简单地提到芒德勃罗的名字。
芒德勃罗看了这两篇文章大为不悦，给编辑部去了一封信，刊于《今日物理学》 9月号，题 目是《多分形与分形》。［22］他首先针对卡丹诺夫的提问作了回答：“卡丹诺夫问‘分形 为什么这么多事’，我们看到现在答案部分在于他本人以及他的亲近同伙的工作都与‘多分形’有关。”芒德勃罗在这封信中特别补充了自己早期关于多分形的贡献。“1968 年我在关于 发达湍流的工作中第一个提到了多［重］分形，70年代我发表了有关此问题的大量论述。”他一口气提到他独立撰写与合作完成的十余种文献，目的只有一个，强调他最先 提出了多［ 重］分形的思想。全文最刺激的话是：“无论怎样，来自芝加哥的关于（多）分形的最新研究，令我感受到作为一位父亲的骄傲，也许不久就要当祖父了。”
不过应当指出“多［重］分形”一词是弗里茨和帕里西命名的，当然他受到了芒 德勃罗的影 响（如1974年的文章），后来弗氏又对多分形形式化进行了改进。芒德勃罗也承认这一点。
芒氏又讲道：“尽管我70年代的论文既难写更难读，但它们包含一些至今没有超 越或者没有 重新发现的思想。特别地，我发表在《统计模型与湍流》一书中的论文（1972年，题目为《阵发湍流中与能量耗散分布有关的对数正则假设的可能细化》）包含多分形测度的有用描述 .”他还让人 们注意1980年在哈佛大学时与一伙同事们（如杰芬（Y.Gefan）和阿哈罗尼等）合作发表的多篇论文。这些同事完全站在芒氏一边，其中阿哈罗尼是芒氏的重要追随者，1989 年10月他与 费德在法国专门举办了一次研讨会为芒氏65岁生日祝寿，并组织出版了纪念文集 （见1989年出版的《物理学38D》杂志）。
在这封信的结尾芒氏写道：“扩散置限凝聚（DLA）及其各个变种确实只是被发现 和描述，还 没有完全解释清楚。描述先于理论是科学发展的通常模式。但是，看看在短短不到6年的时间里已变得彻底可理解的所有硬科学！看看关于逾渗网瀑涨的知识，以及分形形状对物理学 所产生的奇妙 的、多样性的影响和修正吧！” 优先权问题
芒德勃罗卷入的第二个争论远胜过第一个。这次发难者是早年毕业于圣克鲁兹加 州大学、现任圣路易斯州华盛顿大学的数学家克兰茨（Steven G.Krantz），他的研究方向是函数论和复 分析的几何方法。此人爱好广泛，后来（1990年）还在同一刊物上 发表一篇《数学秩事》，专门讲述了柏格曼（Stefan Bergman，1898-1977）、贝塞克维奇（Abram S.Besicovitch，1891-19 70）、哥德尔（Kurt Go……del，1906-1978）、莱弗席兹（Solomon Lefschetz，1884-1972）和 维纳的一些令人发笑的故事。
好在那些数学家早就去世了，讲述的故事真假死无对证，不过这一次（1989年）他 却惹了麻烦 .1988年秋克兰茨想对两本书《分形图象科学》和《分形之美》作一评论，先征得了美国数学会会刊书评编辑的同意。编辑斯托特（Edgar Lee Stout）很快收到稿子并同意发表。校样 1989年1月中 旬出来后克兰茨故意复印了一些让人们传看，特别送给芒德勃罗一份。芒德勃罗阅毕表示强烈反对，并写了一篇反驳文章。后来数学会怕惹事，建议克兰茨撤回书评稿另 投他处。克 兰茨也非常生气，堂堂美国数学会怎么能出尔反尔。最后书评连同芒德勃罗的反驳一同刊登在很有名的《数学信使》（The Mathematical Intelligencer）杂志1989年第 4期上。［14］
克兰茨的书评写得很长，只是稍带评论一下提到的那两部当时影响极大的书，文 章的中心是 冲芒德勃罗和分形几何学来的。开篇温和地从公众理解数学谈起，不久就到了关键：“但是，目前数学中有一项进展由于其潜在的易理解性，可能使其他数学宣传相形见绌，这就是分 形理论。尽 管现在称作分形集合的东西已早被研究了（如在调和分析、几何测度论和奇异性理论中），但芒德勃罗起了‘分形’这个词，并使之流行起来。”
接着引用了《分形之美》中芒德勃罗一段得意的、极容易引起反感的话，然后评 论说，有人 竟认为分形是自微积分以来最伟大的数学思想。但他认为根本不是这么回事。“像微积分的创立者们一样，分形几何的奠基人也造就了一批有志于此事业的中坚队伍。他们不会因为缺 乏严格性而 受阻，因为他们分享着最近300年来辛勤积累的智慧，即使到目前还没有普遍接受的‘分形’定义。情况似乎是，他们不证明定理（显然分形几何学家们不证明定理）时，是 不需要定义 的。分形几何与微积分的显著差别是，分形几何没有解决任何问题。我不清楚它是否创造了任何新的东西。”可以看出火药味是颇浓的，而这里见到的还是修改后、语气有 所缓和的稿 子。
克兰茨还特别提到要把目前不适当归于“分形”标题或者大伞之下的真正数学拿 走，至少是 划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像“轮廓使人想起一只狗的头，上部 像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数D比欧氏空间维数E要大0.2到0.3的形状似乎特别多。典型的海岸线 的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3”这类描述根本不像是科学。“当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。但是我在两本书 中任何一处 看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对‘分形’一词没有明确的定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。”“我不认为芒德勃罗证明了任何定理 作为他的研 究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自己的话，他是一位科学哲学家。”“芒德勃罗建议分形几何学家也利用计算机作图来提出假设和猜想。但作分形研究的人 提出的假设 和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了得到更多的图形，而不是为了得到更深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 .”
克兰茨的书评特别评论了关于复迭代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪 和哈伯德（J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生）的工作继承了朱丽亚和法图（Pierre Fatou，1978-1979）的 传统，是真正 出色的数学。“‘芒德勃罗集（简称M集）’并不是由芒德勃罗发明的，很清楚在”芒德勃罗集“这个词被 制造几年之前，文献中就清楚地出现过（指布鲁克斯（Robert Brooks）等人1978年的会议论文，1981年出版）。事实上法图和朱丽亚早就研究了迭代函数 z→z2+c，如今 芒德勃罗至少是由于与这此有关，而得到不少荣誉。”克兰茨还就“ 外尔斯特拉斯-芒德勃罗函数”的命名提出疑问，不过这算不了什么，芒氏也巧妙地作了回 答：实际上作 这样称呼的是著名科学家伯瑞（Michael Berry），WM函数具有自仿射性质，而W函数不具有。
克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、迭代函数作了出色研究，“但是这些数学 家们不研究 分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上是间接称颂道阿迪、哈伯德、沙斯顿（Willian Thurston）和其他人的工作。”“我发现麻烦的是，公众 对于当今数 学家们正在从事的工作的理解大部分是由于读了关于分形的书，读了格莱克的《浑沌》（Chaos）一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的书籍，来获得的。 ……这两部书造成 了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处于襁褓中。现在就讲述它们是否能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。”［14］
克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：“对分形理论的过分宣传导致了对数学 发展的有害 的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬件的经费，比支持研究代数几何来得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇怪，是怎样的考 虑导致这样 的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同对硬件的投资而不是对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人沮丧。”。最后的结论是 ：“关于它 们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的分析语言这一断言，我想说，分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝没有着穿衣。”
克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有 些“红眼病 ”之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。
他先作了一个有趣的开场白：“看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多 元论的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。”之后着重就“芒德勃罗集”的优先权作出了反应，这对他来说的确很重要，公众（特别是能够上微机作图的人）主要是由芒德勃罗集而知道分形的。 自然扯到布 鲁克斯与马蒂尔斯基（J.Peter Matelski）1978年写成1981年发表出来的文章（刊于一部论文集中）。准确说，虽然芒德勃罗于1979-1980年也研究了二次复迭代，大概也独立 发现了M集， 但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是1978年，一个是1980年（或者再早些算1979年）；但发表时间正好倒过来了，一个是1981年，一个是1980年。论文集显 然比杂志论文 刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先后，但又不好正面反驳，于是找到另外几个理由：1）指出布鲁克斯只给出了M集的粗糙版本；2）是芒德勃罗本人大力宣传了M 集；3）正是芒德勃罗 吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述M集，促使道阿迪与其学生哈伯德暂时放下手头的工作而专心研究M集的性质。芒德勃罗指出，他在沙利文（Dennis S ullivan，也是道 阿迪以前的学生）的CUNY讨论班上向米尔诺（J.Milnor）和沙斯顿讲述M集时，M集还不曾归于任何人的名下。［14］
M集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什么了 不起的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1）计算机辅助几何设计中，利用伯恩斯坦（Ber nstein）多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔（Pierre E.Bezier，1910- ）曲线，这种算法雪 铁龙汽车公司工程师卡斯特乔（de Casteljau）也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。［39，40］2）利用复函数去计算实积分的值，欧拉 （Leonhard Euler，1707-1783）和拉普拉斯（Pierre-Simmon Laplace，1749-1827）都有优先权。3）在常 微分方程研究中 ，关于富克斯（Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902）型函数和克莱因（Chri stian Felix Klein，1849-1925）型函数也存在一些争 议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯没有研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，于是庞加莱马上将自己新发 现的一种函 数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数！［41］
芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，后者1990年在第1期《数 学信使》中 反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：“至于谁发明了现在称作芒德勃罗集的东西，我 认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑问，如果法图有机会接触现代计算机的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗和我60年后画 出来的完整 图形。这么多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到。坦率地说，生活在计算机革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。”
芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近于那种将被证明是特殊的东西， 但他们对于 这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：“我不知道他对我们理解什么或者没有理解什么，怎样那么有把握！我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案。要害在于句 子的前半部分 .在所有这些大吵大嚷之后，如果芒德勃罗真的相信这个集合有些特殊，那么他一定言不由衷。正如英国海岸线没什么不同于世界上所有其他海岸线一样，芒德勃罗集也 只是整个奇 妙的数学宇宙中的一个（当然既不是第一个也不是最后一个），它反射出自然界与思维世界中各种类型的美与精巧。”
在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只 字未提孰是 孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部他还推荐给自己的学生阅读。
另外芒德勃罗还就克兰茨说他是“科学哲学家”进行了辩白，说那只是克兰茨的 论断。芒氏 称自己是“实干家”（doer），写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术杂志上。很 清楚，在他们的争论中，双方都认定“科学哲学家”只是一些善于夸夸其谈、只知道评论别人工作的一伙 人。实际上呢？大家心里都清楚。
克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间， 他讲了这样 一段再次让芒氏难受的话：“布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会议上提出的，至于芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的编辑列维在1986 年4月的文章 中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不是分形几何方法。列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示默认，这正好提供一个 例子，说明 分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的倾向。”
抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指 出的若干不 成熟性、不严格性，但是这不应该归罪于一个人，特别不能归罪于为这一新学科做出重大贡献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份。当然由于涉及 一些个人利 益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德勃罗并没有争回什么 （M集的命名已成事实，谁也改变不了），反而影响了自己的公众形象，使人觉得他是一 个过分计较的人。 芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道，人不出名时，公开的争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。
有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责 他的把戏转 手。
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